LovesTheTeam.com

Οδηγίες

1

Ας υπάρχει μια αριθμητική ακολουθία της φόρμας a_1,a_2, a_3, ..., a_n και κάποια ακολουθία s_1, s_2, ..., s_k, όπου n και k τείνουν να ∞, και τα στοιχεία της ακολουθίας s_j είναι τα ποσά ορισμένων όρων της ακολουθίας a_i. Στη συνέχεια, η ακολουθία a είναι μια αριθμητική σειρά και s είναι μια ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της: s_j = Σa_i, όπου 1 ≤ i ≤ j.

2

Τα προβλήματα επίλυσης αριθμητικών σειρών μειώνονταιορισμό της σύγκλισης. Λένε ότι η σειρά συγκλίνει αν το όριο της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων και απολύτως συγκλίνουσα αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων της συγκλίνει μονάδες. Αντίθετα, αν η αποκλίνουσα ακολουθία τμηματικά ποσά της σειράς, που αποκλίνει.

3

Για να αποδειχθεί η σύγκλιση της ακολουθίας των μερικών ποσών πρέπει να κινηθεί προς το όριο έννοια της, που ονομάζεται το άθροισμα της σειράς: S = lim_n → ∞ Σ_ (i = 1) ^ n a_i.

4

Εάν αυτό το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε η σειράσυγκλίνει. Εάν δεν υπάρχει ή είναι άπειρο, τότε η σειρά αποκλίνει. Υπάρχει ένα άλλο απαραίτητο, αλλά όχι επαρκές, σημείο σύγκλισης της σειράς. Αυτός είναι ο γενικός όρος της σειράς a_n. Εάν τείνει στο μηδέν: lim a_i = 0 ως I → ∞, τότε η σειρά συγκλίνει. Η συνθήκη αυτή εξετάζεται σε συνδυασμό με την ανάλυση άλλων χαρακτηριστικών, tk. Είναι ανεπαρκές, αλλά αν ο γενικός όρος δεν τείνει στο μηδέν, τότε η σειρά αποκλίνει από μόνη της.

5

Παράδειγμα1.Καθορίστε τη σύγκλιση της σειράς 1/3 + 2/5 + 3/7 + ... + n / (2 * n + 1) + ... .Reshenie.Primenite απαραίτητο κριτήριο σύγκλισης - αν ο γενικός όρος τείνει στο μηδέν: lim a_i = lim n / ( 2 * n + 1) = ½.Itak, a_i ≠ 0, και επομένως αποκλίνει.

6

Παράδειγμα2.Καθορίστε τη σύγκλιση της σειράς 1 + ½ + 1/3 + ... + 1 / n + ... .Reshenie.Stremitsya αν γενικός όρος με μηδέν: lim 1 / n = 0. Ναι, επιδιώκει να εκτελέσει την αναγκαία δοκιμή για σύγκλιση, αλλά αυτό δεν είναι αρκετό. Τώρα με το όριο ανέρχεται αλληλουχίες προσπαθούν να αποδείξουν ότι αποκλίνει: s_n = Σ_ (k = 1) ^ n 1 / k = 1 + ½ + 1/3 + ... + 1 / n. Η αλληλουχία των ποσών, αν και πολύ αργά, αλλά προφανώς τείνει να ∞, εξ ου και η σειρά αποκλίνει.

7

Ένα σημάδι της σύγκλισης d'Alembert. Υποθέστε ότι υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο της σχέσης των επόμενων και των προηγούμενων όρων της σειράς lim (a_ (n + 1) / a_n) = D. Στη συνέχεια: D <1 - η σειρά συγκλίνει. D> 1 - η σειρά αποκλίνει. D = 1 - η λύση είναι ασαφής, πρέπει να χρησιμοποιήσετε ένα πρόσθετο σημείο.

8

Ένα ριζοσπαστικό κριτήριο για τη σύγκλιση της Cauchy. Ας υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο της μορφής lim √ (n & a_n) = D. Στη συνέχεια: D <1 - η σειρά συγκλίνει. D> 1 - η σειρά αποκλίνει. D = 1 - δεν υπάρχει ενιαία απάντηση.

9

Αυτά τα δύο χαρακτηριστικά μπορούν να χρησιμοποιηθούνΩστόσο, το σήμα του Cauchy είναι ισχυρότερο. Υπάρχει επίσης ένα αναπόσπαστο κριτήριο Cauchy, σύμφωνα με το οποίο για να καθοριστεί η σύγκλιση των σειρών είναι απαραίτητο να βρεθεί το αντίστοιχο οριστικό ολοκλήρωμα. Εάν συγκλίνει, τότε η σειρά συγκλίνει και αντίστροφα.