Πώς να βρείτε το διάστημα σύγκλισης
Πώς να βρείτε το διάστημα σύγκλισης
Η σειρά ισχύος είναι μια ειδική περίπτωση ενός λειτουργικούσειρά των οποίων οι όροι είναι λειτουργίες ισχύος. Η ευρεία κατανομή τους οφείλεται στο γεγονός ότι, όταν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις, συγκλίνουν σε συγκεκριμένες λειτουργίες και είναι το πιο βολικό αναλυτικό εργαλείο για την παρουσίασή τους.
Οδηγίες
1
Η σειρά ισχύος είναι μια ειδική περίπτωσηλειτουργικές σειρές. Έχει τη μορφή 0 + c1 (z-z0) + c2 (z-z0) ^ 2 + ... + cn (z-z0) ^ n + .... (1) Αν κάνουμε την υποκατάσταση x = z-z0, τότε αυτή η σειρά παίρνει τη μορφή c0 + c1x + c2x ^ 2 + ... + cn (x ^ n) + .... (2)
2
Σε αυτή την περίπτωση, οι σειρές της φόρμας (2) είναι πιο κατάλληλες για εξέταση. Είναι προφανές ότι κάθε σειρά ισχύος συγκλίνει για το x = 0. Το σύνολο των σημείων στα οποία η σειρά είναι συγκλίνοντα (τομέας σύγκλιση) μπορεί να βρεθεί με βάση το θεώρημα Abel. Επομένως, αν η σειρά (2) είναι συγκλίνουσα σε ένα σημείο x0 ≠ 0, τότε συγκλίνει για όλα τα x που ικανοποιούν την ανισότητα | x |
3
Αντίστοιχα, εάν σε κάποιο σημείο x1 η σειράαποκλίνει, τότε αυτό παρατηρείται για όλα τα x για τα οποία | x1 |> | b |. Το σχήμα 1, όπου τα x1 και x0 επιλέγονται να είναι μεγάλα, μας επιτρέπει να καταλάβουμε ότι όλα τα x1> x0. Επομένως, όταν πλησιάζουν ο ένας στον άλλο, η κατάσταση x0 = x1 θα προκύψει αναπόφευκτα. Σε αυτή την περίπτωση, η κατάσταση της σύγκλισης, οι πέρασμα συρροή πόντους (τους αποκαλούν -R και R) αλλάζει σταδιακά. Δεδομένου ότι το R έχει γεωμετρικό μήκος, ο αριθμός R≥0 ονομάζεται ακτίνα σύγκλισης της σειράς ισχύος (2). Διαστήματος (-R, R) ονομάζεται το διάστημα σύγκλισης των σειρών ισχύος. Είναι δυνατή και R = + ∞. Για το x = ± R, η σειρά γίνεται αριθμητική και η ανάλυσή της εκτελείται με βάση τις πληροφορίες σχετικά με τις αριθμητικές σειρές.
4
Για τον προσδιορισμό του R, η σειρά διερευνάται για απόλυτησύγκλιση. Δηλαδή, καταρτίζεται μια σειρά από απόλυτες τιμές των όρων της αρχικής σειράς. Οι μελέτες μπορούν να διεξαχθούν με βάση τα σημάδια του d'Alembert και του Cauchy. Κατά την εφαρμογή τους, διαπιστώνονται όρια που συγκρίνονται με την ενότητα. Επομένως, το όριο ίσο με την ενότητα επιτυγχάνεται σε x = R. Κατά την επίλυση επί τη βάσει του d'Alembert, το όριο που φαίνεται στο Σχ. 2α. Ο θετικός αριθμός x στον οποίο αυτό το όριο είναι ίσο με ένα θα είναι η ακτίνα R (βλέπε σχήμα 2b). Στη μελέτη της σειράς από το ριζικό κριτήριο Cauchy, ο τύπος για τον υπολογισμό R παίρνει τη μορφή (βλέπε σχήμα 2c).
5
Οι τύποι που φαίνονται στο Σχ. 2 εφαρμόζονται υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τα εν λόγω όρια. Για τη σειρά ισχύος (1), το διάστημα σύγκλισης γράφεται στη μορφή (z0-R, z0 + R).
